Giả sử con tàu đó luôn giữ nguyên tốc độ di chuyển, để tổng chi phí nhiên liệu trên 1 km đường là nhỏ nhất thì tốc độ của con tàu đó bằng bao nhiêu km/h?

Đáp án: \(22,5\).

Gọi \(x\,\,{\rm{(km/h)}}\) là tốc độ của tàu.

Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là \(\frac{1}{x}\) (giờ).

Chi phí tiền nhiên liệu phần thứ nhất cho quãng đường 1 km là: \(\frac{1}{x} \cdot 480\) (nghìn đồng).

Gọi \(y\) (nghìn đồng) là chi phí nhiên liệu phần thứ hai cho quãng đường 1 km ứng với tốc độ \(x\). Ta có \(y\) tỉ lệ thuận với lập phương tốc độ nên \(y = k{x^3}\) với \(k > 0\).

Khi tốc độ \(x = 20\,\,{\rm{(km/h)}}\) thì thời gian tàu chạy 1 km là \(\frac{1}{{20}}\) (giờ) nên chi phí phần thứ 2 cho quãng đường 1 km là \(\frac{1}{{20}} \cdot 100 = 5\) (nghìn đồng).

Suy ra \(5 = k \cdot {20^3}\) nên \(k = \frac{5}{{{{20}^3}}} = \frac{1}{{1600}}\), do đó \(y = \frac{{{x^3}}}{{1600}}\).

Vậy tổng chi phí tiền nhiên liệu cho 1 km đường là: \(P\left( x \right) = \frac{{480}}{x} + \frac{{{x^3}}}{{1600}}\).

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(P\left( x \right)\) nhỏ nhất.

Có \(P'\left( x \right) =  - \frac{{480}}{{{x^2}}} + \frac{{3{x^2}}}{{1600}};\,\,P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{3{x^2}}}{{1600}} = \frac{{480}}{{{x^2}}} \Rightarrow x = 4\sqrt[4]{{1000}}\).

Lập bảng biến thiên suy ra \(P\left( x \right)\) đạt GTNN tại \(x = 4\sqrt[4]{{1000}}\).

Vậy để tổng chi phí trên 1 km đường nhỏ nhất thì vận tốc của tàu là \(x = 4\sqrt[4]{{1000}} \approx 22,5\,{\rm{(km/h)}}\).