Giả sử có một loại bệnh mà tỉ lệ người mắc bệnh là \(0,1\% \). Giả sử có một loại xét nghiệm

12/22

Giả sử có một loại bệnh mà tỉ lệ người mắc bệnh là \(0,1\% \). Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh khi xét nghiệm thì có \(95\% \) phản ứng dương tính, nhưng tỉ lệ phản ứng dương tính giả là \(8\% \) (tức là trong số những người không bị bệnh có \(8\% \) số người xét nghiệm lại có phản ứng dương tính). Biết khi một người xét nghiệm có phản ứng dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó là \(a\,\% \). Hỏi \(a\) gần số nào nhất trong các số sau?

\(1,07\).

\(1,12\).

\(1,17\).

\(1,22\).

Giải thích

Gọi \(A\) là biến cố “Người được chọn ra không mắc bệnh”, khi đó \(P\left( A \right) = 1 - 0,1\% = 0,999\), \(P\left( {\overline A } \right) = 0,001\).

\(B\) là biến cố “Người được chọn ra có phản ứng dương tính”, khi đó \(P\left( {B|A} \right) = 8\% = 0,08\) và \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,95\)

Khả năng mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính là \(P\left( {\overline A |B} \right)\)

Theo công thức Bayes, ta có \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) + P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}} = \frac{{0,001.0,95}}{{0,001.0,95 + 0,999.0,08}} = \frac{{95}}{{8087}} \approx 1,17\% \)

Vậy khả năng mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính là \(1,17\% \).