Giả sử chiều cao của một giống cây trồng tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số f(t) = 200/(1 + 4 e^(− t)), t ≥ 0.

20/22

Giả sử chiều cao của một giống cây trồng tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{200}}{{1 + 4{e^{ - t}}}},\;\;t \ge 0\). Trong đó thời gian \(t\) được tính bằng tháng kể từ khi hạt bắt đầu nảy mầm. Khi đó đạo hàm \(f'\left( t \right)\) sẽ biểu thị tốc độ tăng chiều cao của giống cây đó. Hỏi sau khi hạt giống bắt đầu nảy mầm thì sau bao nhiêu tháng tốc độ tăng chiều cao của cây là lớn nhất?

_____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có: \(f\left( t \right) = \frac{{200}}{{1 + 4{e^{ - t}}}} \Rightarrow f'\left( t \right) = 200.\frac{{ - 4.{e^{ - t}}.\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = 200.\frac{{4.{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\)

\(f''\left( t \right) = 200.\frac{{ - 4{e^{ - t}}{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right).\left( { - 4{e^t}} \right).4{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)\( = 200.\frac{{ - 4{e^{ - t}}.\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 4{e^{ - t}} - 8{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)

\( = 200.\frac{{ - 4{e^{ - t}}.\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)\left( {1 - 4{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 4{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)\( \Rightarrow f''\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow t = - \ln \left( {\frac{1}{4}} \right) = \ln 4 \approx 1,38\)

Giả sử chiều cao của một giống cây trồ (ảnh 1)

Vậy sau khi nảy mầm khoảng \(\ln 4 \approx 1,38\) tháng thì cây có tốc độ tăng chiều cao lớn nhất.