Giả sử (1 / căn bậc hai của x − 1 / căn bậc hai của x + 1) : (căn bậc hai của x / (x − 1)) = m / căn bậc hai của x + n / x; trong đó m, n ∈ Z và x > 1. Giá trị biểu thức 2m − n bằng

Đáp án đúng là: D

Với \(x > 1\) ta có:

\(\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x  + 1 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} \cdot \frac{{x - 1}}{{\sqrt x }} = \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} \cdot \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{x}.\)

Theo bài, \(\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x - 1}} = \frac{{m\sqrt x  + n}}{x}\) nên ta có:

\(\frac{{m\sqrt x  + n}}{x} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{x}.\)

Đồng nhất hệ số, ta suy ra \(m = 1\) và \(n =  - 1\).

Vậy biểu thức \[2m - n = 2 \cdot 1 - \left( { - 1} \right) = 3\].