∫ f ( x ) d x = 2 x + ln | x | + C .

Ta có \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x} = 2 + \frac{1}{x} \Rightarrow \int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int {\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)} \,{\rm{d}}x = 2x + \ln \left| x \right| + C\).

Vì \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 2x + \ln \left| x \right| + C\).

Mà \(F\left( 1 \right) = 3\) nên \(C = 1\). Vậy \(F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + 1\).

Ta có \(f'\left( x \right) =  - \frac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow f'\left( {2x} \right) =  - \frac{1}{{4{x^2}}}\). Khi đó, \(\int {f'\left( {2x} \right)} \,{\rm{d}}x =  - \int {\frac{1}{{4{x^2}}}} \,{\rm{d}}x = \frac{1}{{4x}} + C\).

Vì \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên ta có:

\(G\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + C = \left[ \begin{array}{l}2x + \ln x + {C_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 0\\2x + \ln \left( { - x} \right) + {C_2}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x < 0.\end{array} \right.\)

\(G\left( 2 \right) = 1 \Rightarrow 2 \cdot 2 + \ln 2 + {C_1} = 1 \Rightarrow {C_1} =  - 3 - \ln 2\).

\(G\left( 5 \right) + G\left( { - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot 5 + \ln 5 - 3 - \ln 2 + 2 \cdot \left( { - 5} \right) + \ln 5 + {C_2} = 0 \Rightarrow {C_2} = 3 + \ln 2 - 2\ln 5\).

Do đó \(G\left( { - 10} \right) = 2 \cdot \left( { - 10} \right) + \ln 10 + 3 + \ln 2 - 2\ln 5 = \ln 10 - 2\ln 5 + \ln 2 - 17\).

Vậy \[a + b + c + d = 1 + \left( { - 2} \right) + 1 + \left( { - 17} \right) =  - 17\].

Đáp án:       a) Đúng,      b) Đúng,     c) Sai,          d) Sai.