Đường tròn tâm O nội tiếp hình vuông ABCD, tiếp điểm trên AB là M. Một tiếp tuyến với (O) cắt các cạnh BC, CD lần lượt ở E, F. Chứng minh rằng

a) Xét tam giác \[\Delta DFO\] có \[\widehat {DOF} + \widehat {DFO} + \widehat {ODF} = 180^\circ \]

Suy ra \[\widehat {DOF} + \widehat {DFO} = 135^\circ \] (vì \[\widehat {ODF} = 45^\circ \]). (1)

Xét tứ giác \[BDEF\] có \[\widehat D + \widehat B + \widehat E + \widehat F = 360^\circ \] suy ra \[\widehat {DEF} + \widehat {BEF} = 270^\circ \].

Mặt khác ta có: \[FO,EO\] lần lượt là phân giác của góc \[\widehat {DFE},\widehat {BEF}\] nên ta có:

\[\widehat {DFO} = \frac{1}{2}\widehat {DFE}\] và \[\widehat {BEO} = \frac{1}{2}\widehat {BEF}\].

Suy ra \[\widehat {DFO} + \widehat {BEO} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {DFE} + \widehat {BEF}} \right) = 135^\circ \] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {BEO} = \widehat {DOF}\].

Xét tam giác \[DOF\] và tam giác \[BEO\], có:

\[\widehat {ODF} = \widehat {OBE} = 45^\circ \] và \[\widehat {BEO} = \widehat {DOF}\] suy ra (g.g).

b) Ta có: nên \[\frac{{DF}}{{BO}} = \frac{{DO}}{{BE}}\]

Suy ra \[DF.BE = DO.BO = \frac{{B{D^2}}}{4} = \frac{{A{B^2}}}{4} = BM.AD\].

Suy ra \[\frac{{BM}}{{DF}} = \frac{{BE}}{{AD}}\].

Xét \[\Delta ADF\] và \[\Delta EBM\], ta có: \[\frac{{BM}}{{DF}} = \frac{{BE}}{{AD}}\] và \[\widehat {ADF} = \widehat {MBE}\]

Suy ra (c.g.c) nên \[\widehat {AFD} = \widehat {BME}\].

Mặt khác, có \[\widehat {BAF} = \widehat {AFD}\] (vì \[AB\parallel CD\]).

Suy ra \[\widehat {BAF} = \widehat {BME}\].

Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \[ME\parallel AF.\]

3. Một số bài toán khác