Đường tròn nội tiếp tam giác đều A B C có bán kính bằng 4 d m . (a) Tính diện tích tam giác A B C . (b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C .

a) Ta có tâm \[O\] đường tròn nội tiếp của tam giác đều \[ABC\] là giao điểm của ba đường phân giác, cũng là đường trung trực, đường cao của tam giác đều.

Bán kính \[OI = 4{\rm{ dm}}\] với \[I\] là trung điểm của \[BC\].

Do đó \[OI = \frac{1}{3}AI\] suy ra \[AI = 3OI = 12{\rm{ dm}}\].

Gọi cạnh của tam giác đều \[ABC\] là \[a{\rm{ dm}}\].

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \[ABI\], ta có:

\[A{I^2} + B{I^2} = A{B^2}\]

\[{12^2} + {\frac{a}{4}^2} = {a^2}\]

\[\frac{{3{a^2}}}{4} = {12^2}\] suy ra \[a = 8\sqrt 3 {\rm{ dm}}\].

Suy ra diện tích tam giác đều \[ABC\] là \[\frac{1}{2}.12.8\sqrt 3 = 48\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}} \right)\].

b)

Ta có đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \[ABC\] có tâm \[O\] là giao điểm của ba đường trung trực, bán kính \[OA = OB = OC\].

Ta có \[OA = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3}.12 = 8{\rm{ dm}}\].

Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giá đều \[ABC\] là \[R = 8{\rm{ dm}}\].