Dựng hình bình hành ABCD biết vị trí các điểm A và vị trí các trung điểm M, N của BC và CD.

* Phân tích

Giả sử đã dựng được hình bình hành thỏa mãn đề bài.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo và K là giao điểm của MN và AC.

Xét ΔCBD có MN là đường trung bình, MN // BD

Xét ΔCOB có MB = MC và MK // OB nên CK = KO

Vậy MK là đường trung bình nên MK=12OB.

Chứng minh tương tự, ta được KN=12OD.

Mặt khác, OB = OD nên KM = KN

Vậy điểm K là trung điểm của MN xác định được.

Dễ thấy OK=KC=12OC=12OA⇒KC=14AC suy ra KC=13KA.

Điểm C nằm trên tia đối của tia KA và cách K một khoảng 13AK.

Điểm C xác định được thì các điểm B và D cũng xác định được.

* Cách dựng

- Dựng đoạn thẳng MN.

- Dựng trung điểm K của MN.

- Dựng tia AK.

- Trên tia đối của tia KA dựng điểm C sao cho KC=13KA.

- Dựng điểm B sao cho M là trung điểm của CB.

- Dựng điểm D sao cho N là trung điểm của CD.

- Dựng các đoạn thẳng AB, AD ta được hình bình hành phải dựng.