(Đúng hay sai) Hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2x^2 - ln x trên đoạn [1/e;e] là: 2e^2 - ln2 -3/2

Hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} - \ln x\)xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ {\frac{1}{{\rm{e}}};{\rm{e}}} \right]\).

\(f'\left( x \right) = 4x - \frac{1}{x} = \frac{{4{x^2} - 1}}{x}.\)

Xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2} \in \left( {\frac{1}{{\rm{e}}};{\rm{e}}} \right)\\x =  - \frac{1}{2} \notin \left( {\frac{1}{{\rm{e}}};{\rm{e}}} \right)\end{array} \right..\)

Ta có \(f\left( {\frac{1}{{\rm{e}}}} \right) = \frac{2}{{{{\rm{e}}^2}}} + 1;{\rm{ }}f\left( {\rm{e}} \right) = 2{{\rm{e}}^2} - 1;{\rm{ }}f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} + \ln 2.\)

Suy ra \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{{\rm{e}}};{\rm{e}}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\rm{e}} \right) = 2{{\rm{e}}^2} - 1;{\rm{ }}\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{{\rm{e}}};{\rm{e}}} \right]} f\left( x \right) = \frac{1}{2} + \ln 2.\]

Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{{\rm{e}}};{\rm{e}}} \right]} f\left( x \right) - \mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{{\rm{e}}};{\rm{e}}} \right]} f\left( x \right) = 2{{\rm{e}}^2} + \ln 2 - \frac{3}{2}.\] Chọn Đ