Đồng vị phóng xạ \({}_{84}^{210}Po\) phân rã \(\alpha \), biến đổi thành hạt nhân X bền với chu kì bán rã là T. Ban đầu \((t = 0)\), một mẫu có chứa cả hạt nhân \(^{210}84Po\) và hạt nhân X.

Đáp án: 0,4

Gọi số hạt nhân \({}_{84}^{210}Po\) ban đầu là \({N_0}\), số hạt nhân X ban đầu là N_X0.

Đặt:

\(a = {2^{ - \frac{{{t_1}}}{T}}}\)

Tại thời điểm \({t_1}\):

Số hạt nhân \(_{84}^{210}Po\) còn lại là:

\({N_{Po1}} = {N_0}a\)

Số hạt nhân X trong mẫu là:

\({N_{X1}} = {N_{X0}} + {N_0}(1 - a)\)

Theo đề:

\(\frac{{{N_{X1}}}}{{{N_{Po1}}}} = 3\)

\(\frac{{{N_{X0}} + {N_0}(1 - a)}}{{{N_0}a}} = 3\)

Chia cả tử và mẫu cho \({N_0}\), đặt \(x = \frac{{{N_{X0}}}}{{{N_0}}}\):

\(x + 1 - a = 3a\)

Suy ra:

\(x = 4a - 1\)  (1)

Tại thời điểm \({t_2} = 4{t_1}\):

Số hạt nhân \(_{84}^{210}Po\) còn lại là:

\({N_{Po2}} = {N_0}{a^4}\)

Số hạt nhân X trong mẫu là:

\({N_{X2}} = {N_{X0}} + {N_0}(1 - {a^4})\)

Theo đề:

\(\frac{{{N_{X2}}}}{{{N_{Po2}}}} = 5\)

\(\frac{{{N_{X0}} + {N_0}(1 - {a^4})}}{{{N_0}{a^4}}} = 5\)

Suy ra:

\(x + 1 - {a^4} = 5{a^4}\)

\(x = 6{a^4} - 1\)  (2)

Từ (1) và (2):

\(4a - 1 = 6{a^4} - 1\)

\(4a = 6{a^4}\)

\({a^3} = \frac{2}{3}\)

\(a = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}}} \approx 0,8736\)

Khi đó:

\(x = 4a - 1 \approx 4.0,8736 - 1 = 2,4944\)

Mà \(x = \frac{{{N_{X0}}}}{{{N_0}}}\), nên:

\(\frac{{{N_0}}}{{{N_{X0}}}} = \frac{1}{x} \approx \frac{1}{{2,4944}} \approx 0,4\)

Vậy tỉ số giữa số hạt nhân \(_{84}^{210}Po\) và số hạt nhân X ban đầu là 0,4.