Đoạn đường ngắn nhất là số nguyên dương mà người đó có thể đi là bao nhiêu?
49/55
Cho hai vị trí \(A,B\) cách nhau \(615{\rm{\;m}}\), cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ.
Khoảng cách từ \(A\) và từ \(B\) đến bờ sông lần lượt là \(118{\rm{\;m}}\) và \(487{\rm{\;m}}\). Một người đi từ \(A\) đến bờ sông để lấy nước mang về \(B\). Đoạn đường ngắn nhất là số nguyên dương mà người đó có thể đi là bao nhiêu?
Giả sử người đó đi từ \(A\) đến \(M\) để lấy nước và đi từ \(M\) về \(B\)
Dễ dàng tính được \(BD = 369,EF = 492\).
Ta đặt \(EM = x\), khi đó ta được: \(MF = 492 - x;\,AM = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} \,;\,BM = \sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} {\rm{.}}\)
Như vậy ta có hàm số \(f\left( x \right)\) được xác định bằng tổng quãng đường \(AM\) và \(MB\):
Xét hàm \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} + \sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} {\rm{\;}}\) với\(x \in \left[ {0;492} \right]\)
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm \(M\).
Đạo hàm: \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} - \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} }}{\rm{ = 0}}\]
\( \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} = \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} }} \Leftrightarrow x\sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} = \left( {492 - x} \right)\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}\left[ {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} \right] = {{\left( {492 - x} \right)}^2}\left( {{x^2} + {{118}^2}} \right)}\\{0 \le x \le 492}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {487x} \right)}^2} = {{\left( {58056 - 118x} \right)}^2}}\\{0 \le x \le 492}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{58056}}{{605}}{\rm{\;hay\;}}x = - \frac{{58056}}{{369}} \Leftrightarrow x = \frac{{58056}}{{605}}}\\{0 \le x \le 492}\end{array}} \right.\)
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;492} \right]\).
So sánh các giá trị của \(f\left( 0 \right)\,;\,f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right)\,;\,f\left( {492} \right)\) ta có giá trị nhỏ nhất \(f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right) \approx 779,8{\rm{\;m}}\)
Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ \(779,8{\rm{\;}} \approx {\rm{780m}}\).
Đáp án: 780.