Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

Quan sát hình dáng đồ thị, đây là đồ thị của hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}\). Đường tiệm cận đứng là đường thẳng nét đứt \(x = - 1\). Do đó ta loại phương án A.

Thử điểm giao với trục tung: Tại \(x = 0\), đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(3\), tức là đồ thị đi qua điểm \(\left( {0;3} \right)\).

Thay \(x = 0\) vào các phương án còn lại:

• Phương án B: \(y = \frac{3}{1} = 3\). Tuy nhiên đồ thị phương án B là hàm bậc nhất trên bậc nhất, đồ thị có dạng hai nhánh hypebol nhận tiệm cận ngang, không có tiệm cận xiên dạng parabol/đường thẳng xéo đi lên như hình vẽ. Loại B.
• Phương án C: \(y = \frac{1}{1} = 1 \ne 3\). Loại C.
• Phương án D: \(y = \frac{3}{1} = 3\). Đồng thời phép chia tử cho mẫu ta được: \(y = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 1}} = x + 2 + \frac{1}{{x + 1}}\).

Khi \(x \to \infty \), đồ thị nhận đường thẳng \(y = x + 2\) làm đường tiệm cận xiên (đi qua các điểm \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( { - 1;1} \right)\) đúng như hình vẽ). Đồ thị có điểm cực tiểu tại \(\left( {0;3} \right)\) và cực đại tại \(\left( { - 2; - 1} \right)\).

Chọn D.