Đồ thị hàm số y = f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 có hai điểm cực trị là A, B. Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Đạo hàm của hàm số: \(y' = 3{x^2} - 6x - 9\).

Xét phương trình: \(y' = 0 \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} - 2x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).

Tìm tọa độ các điểm cực trị bằng cách thế \(x\) vào phương trình hàm số ban đầu:

• Với \(x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^3} - 3 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - 9 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 = - 1 - 3 + 9 + 1 = 6 \Rightarrow A\left( { - 1;6} \right)\).
• Với \(x = 3 \Rightarrow y = {3^3} - 3 \cdot {3^2} - 9 \cdot 3 + 1 = 27 - 27 - 27 + 1 = - 26 \Rightarrow B\left( {3; - 26} \right)\).

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị \(A\) và \(B\) là độ dài đoạn thẳng \(AB\):

\(AB = \sqrt {{{\left( {3 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 26 - 6} \right)}^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 32} \right)}^2}} = \sqrt {16 + 1024} = \sqrt {1040} = 4\sqrt {65} \approx 32,2\).

Kết quả: 32,2.