Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 .

a) Sai.

Đồ thị \((C)\) có tiệm cận đứng là \(x =  - 1\).

b) Đúng.

Đồ thị \((C)\) cắt trục \(Oy\) tại \(M(0; - 1)\).

Ta có \(y\prime  = 1 + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} \Rightarrow y\prime (0) = 2\).

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) là \(y = 2x - 1\).

c) Sai.

Tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại tiếp điểm \({M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) có hệ số góc \({k_1} = y\prime \left( {{x_1}} \right) = 1 + \frac{1}{{{{\left( {{x_1} + 1} \right)}^2}}} > 0\). Tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại tiếp điểm \({M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) có hệ số góc \({k_2} = y\prime \left( {{x_2}} \right) = 1 + \frac{1}{{{{\left( {{x_2} + 1} \right)}^2}}} > 0\). Khi đó \({k_1}{k_2} > 0\) nên không tồn tại hai tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với nhau.

d) Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị \((C)\) và đường thẳng \(y = k\) là

\(\) \[x - \frac{1}{{x + 1}} = k \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 1\\{x^2} + x - 1 = k\left( {x + 1} \right).{\rm{   (1)}}\end{array} \right.{\rm{ (I)}}\]

Nhận thấy \(x =  - 1\) không thỏa mãn (1) nên \[(I) \Leftrightarrow {x^2} + \left( {1 - k} \right)x - 1 - k = 0.{\rm{  (2)}}\]

Phương trình (2) có \(\Delta  = {(1 - k)^2} + 4(1 + k) = {k^2} + 2k + 5 = {(k + 1)^2} + 4 > 0,\forall k\).

Do đó, đường thẳng \(y = k\) luôn cắt đồ thị \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_A};k} \right),B\left( {{x_B};k} \right)\) với \({x_A},{x_B}\) là nghiệm của phương trình (2).

Theo Vi-et thì \({x_A}{x_B} =  - 1 - k\).

Ta có \(OA \bot OB \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = 0 \Leftrightarrow {x_A}{x_B} + {k^2} = 0 \Leftrightarrow  - 1 - k + {k^2} = 0\).

Vậy \(OA \bot OB\) thì \(k\) là nghiệm của phương trình \({k^2} - k - 1 = 0\).