Đồ thị của hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ − 3 ; 5 ] như hình vẽ dưới đây (phần cong của đồ thị là một phần của Parabol y = ax^2 + bx + c ).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) \({S_{ODE}} = \frac{1}{2}OD.OE = \frac{1}{2}.4.3 = 6\).

b) Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua các điểm \(A\left( {2;4} \right),B\left( {4;0} \right),C\left( {1;3} \right)\) nên ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 4\\16a + 4b + c = 0\\a + b + c = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 4\\c = 0\end{array} \right.\).

Do đó \(\left( P \right):y = - {x^2} + 4x\).

Đường thẳng \(CB:y = ax + b\) đi qua điểm \(B\left( {4;0} \right);C\left( {1;3} \right)\) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}4a + b = 0\\a + b = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 4\end{array} \right.\).

Do đó đường thẳng \(CB:y = - x + 4\).

Khi đó \(S = \int\limits_1^4 {\left| { - {x^2} + 4x - \left( { - x + 4} \right)} \right|dx} = \int\limits_1^4 {\left( { - {x^2} + 5x - 4} \right)dx} = \frac{9}{2}\).

c) Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{4}{3}x + 4\;{\rm{khi}}\; - 3 \le x < 0\\y = - x + 4\;{\rm{khi}}\;0 \le x < 1\\y = - {x^2} + 4x\;{\rm{khi}}\;1 \le x \le 4\end{array} \right.\).

\(I = \int\limits_{ - 2}^3 {f\left( x \right)dx} \)\( = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} } \)

\( = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {\frac{4}{3}x + 4} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( { - x + 4} \right)dx + \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} } \)

\( = \frac{{16}}{3} + \frac{7}{2} + \frac{{22}}{3} = \frac{{97}}{6}\).

d) Ta có \({S_2} = \int\limits_1^4 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} = \int\limits_1^4 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} = 9\).

Do đó \(3{S_1} = 2{S_2}\).