Dịp cuối tuần một nhóm n bạn gồm Khoa, Khôi, Thảo và (n -3) bạn khác cùng nhau đến rạp chiếu phim xem bộ phim “Mưa đỏ”

Có \[n \in N\].

Gọi \[a,b,c\] lần lượt là số ghế của Khoa, Thảo, Khôi. Do \[a,b,c\] là cấp số cộng nên \[a + c = 2b\].

Chứng tỏ \[a,c\] cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Gọi \[A\] là tập hợp các ghế số chẵn, \[B\] là tập hợp các ghế số lẻ.

Với hai phần tử  \[a,c\] thuộc \[A\] hoặc \[B\] thì hiển nhiên tồn tại cấp số cộng \[a,b,c\].

Trường hợp \[n\] chẵn.

Khi đó, \[A\] có  \[\frac{n}{2}\]  phần tử và \[B\] có  \[\frac{n}{2}\] phần tử.

Có \[C_{\frac{n}{2}}^2 = \frac{{\left( {\frac{n}{2}} \right)!}}{{2!.\left( {\frac{n}{2} - 2} \right)!}} = \frac{1}{2}.\left( {\frac{n}{2} - 1} \right)\left( {\frac{n}{2}} \right) = \frac{1}{8}.\left( {n - 2} \right).n\], nên số cấp số cộng là \[2.C_{\frac{n}{2}}^2 = \frac{1}{4}.\left( {n - 2} \right).n\]

và số kết quả thuận lợi là \[\frac{1}{4}.\left( {n - 2} \right).n.2.\left( {n - 3} \right)! = \frac{1}{2}.\left( {n - 2} \right).n.\left( {n - 3} \right)!\] (do mỗi bộ \[\left( {a;b;c} \right)\] có \[2\] cấp số cộng và ba bạn Khoa, Thảo, Khôi chỉ ngồi vào ba ghế có số ghế tạo thành cấp số cộng chứ không thay đổi vị trí).

Theo đề, có phương trình. \[\frac{{\frac{1}{2}.\left( {n - 2} \right).n.\left( {n - 3} \right)!}}{{n!}} = \frac{{13}}{{675}} \Leftrightarrow \frac{1}{{2\left( {n - 1} \right)}} = \frac{{13}}{{675}} \Leftrightarrow n = \frac{{701}}{{26}}\] (loại).

Trường hợp \[n\] lẻ.

Khi đó, \[A\] có  \[\frac{{n - 1}}{2}\]  phần tử và \[B\] có  \[\frac{{n + 1}}{2}\] phần tử.

Có \[C_{\frac{{n - 1}}{2}}^2 = \frac{{\left( {\frac{{n - 1}}{2}} \right)!}}{{2!.\left( {\frac{{n - 1}}{2} - 2} \right)!}} = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{n - 1}}{2} - 1} \right).\left( {\frac{{n - 1}}{2}} \right) = \frac{1}{8}.\left( {n - 3} \right).\left( {n - 1} \right)\]

và \[C_{\frac{{n + 1}}{2}}^2 = \frac{{\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)!}}{{2!.\left( {\frac{{n + 1}}{2} - 2} \right)!}} = \frac{1}{2}.\left( {\frac{{n + 1}}{2} - 1} \right)\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right) = \frac{1}{8}.\left( {n - 1} \right).\left( {n + 1} \right)\],

nên số cấp số cộng là \[C_{\frac{{n - 1}}{2}}^2 + C_{\frac{{n + 1}}{2}}^2 = \frac{1}{8}\left( {n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right) = \frac{1}{4}{\left( {n - 1} \right)^2}\]

và số kết quả có thể là \[\frac{1}{4}{\left( {n - 1} \right)^2}.2.\left( {n - 3} \right)! = \frac{1}{2}{\left( {n - 1} \right)^2}.\left( {n - 3} \right)!\](do mỗi bộ \[\left( {a;b;c} \right)\] có \[2\] cấp số cộng và ba bạn Khoa, Thảo, Khôi chỉ ngồi vào ba ghế có số ghế tạo thành cấp số cộng chứ không thay đổi vị trí).

Theo đề, có phương trình.

\[\frac{{\frac{1}{2}.{{\left( {n - 1} \right)}^2}.\left( {n - 3} \right)!}}{{n!}} = \frac{{13}}{{675}} \Leftrightarrow \frac{{n - 1}}{{2n\left( {n - 2} \right)}} = \frac{{13}}{{675}} \Leftrightarrow 26{n^2} - 727n + 675 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 27\;\left( n \right)\\n = \frac{{25}}{{26}}\;\left( l \right)\end{array} \right.\]