Điều kiện tham số a để hàm số f ( x ) = x^3 − 27 a x có hai điểm cực trị A, B thoả mãn A, O, B (O là gốc toạ độ) thẳng hàng là

69/100

Điều kiện tham số a để hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 27ax\] có hai điểm cực trị A, B thoả mãn A, O, B (O là gốc toạ độ) thẳng hàng là

a ∈ R.

a > 0.

a < 0.

−1 < a < 0.

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 27a = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 9a\)

Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ a > 0

Khi đó, phương trình y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

\(\left[ \begin{array}{l}x = 3\sqrt a \Rightarrow y = - 54a\sqrt a \Rightarrow A(3\sqrt a ; - 54a\sqrt a )\\x = - 3\sqrt a \Rightarrow y = 54a\sqrt a \Rightarrow B( - 3\sqrt a ;54a\sqrt a )\end{array} \right.\)

⇒ Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là

\(\frac{{x + 3\sqrt a }}{{3\sqrt a + 3\sqrt a }} = \frac{{y - 54a\sqrt a }}{{ - 54a\sqrt a - 54a\sqrt a }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x + 3\sqrt a }}{{6\sqrt a }} = \frac{{y - 54a\sqrt a }}{{ - 108a\sqrt a }}\)

\( \Leftrightarrow 18a(x + 3\sqrt a ) = - y + 54a\sqrt a \)

\( \Leftrightarrow 18ax + y = 0\,\,(d).\)

Ta thấy đường thẳng d luôn đi qua gốc tọa độ với mọi a > 0.

Chọn B