Diện tích mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện đều cạnh a là

42/50

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện đều cạnh $a$ là

$\frac{{3\pi {a^2}}}{2}.$

$\frac{{12\pi {a^2}}}{{11}}.$

$\frac{{2\pi {a^2}}}{3}.$

$\frac{{11\pi {a^2}}}{{12}}.$

Giải thích

$Diện tích mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện đều cạnh $a$ là (ảnh 1)$

Xét tứ diện đều $S.ABC.$ Gọi $H$ là trọng tâm của $\Delta ABC,M$ là trung điểm của $SA,I$ là giao điểm của $SH$ và mặt phẳng trung trực của $SA \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $S.ABC.$

$AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow R = SI = \frac{{S{A^2}}}{{2SH}} = \frac{{3a}}{{2\sqrt 6 }}.$

Vậy diện tích mặt cầu là $4.\pi .{\left( {\frac{{3a}}{{2\sqrt 6 }}} \right)^2} = \frac{{3\pi {a^2}}}{2}.$

Đáp án A