Diện tích của hình thoi A B C D là S A B C D = a 2 √ 3/ 2 .

Tam giác \(ABD\) có \(AD = AB = a,\,\,\widehat {BAD} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABD\) đều.

Suy ra \({S_{ABD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\). Vậy diện tích của hình thoi \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Ta cũng có tam giác \(BCD\) là tam giác đều cạnh \(a\).

Vì \(J\) là trung điểm của \(CD\) nên \(BJ \bot CD\) và \(BJ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vì \(I\) là trung điểm của \(DJ\) nên ta có \(OI\,{\rm{//}}\,BJ\).

Do đó \(OI \bot CD\). Suy ra \(SI \bot CD\).

Ta có \(\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) có \(SI \bot CD\); trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có \(OI \bot CD\).

Vậy góc giữa mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SIO}\). Theo giả thiết, ta có \(\widehat {SIO} = 60^\circ \).

Trong tam giác \(SOI\) vuông tại \(O\), có \(\widehat {SIO} = 60^\circ \), \(IO = \frac{1}{2}BJ = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Do đó \(SO = IO \cdot \tan 60^\circ  = \frac{{3a}}{4}\).

Thể tích khối chóp là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{3a}}{4} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).

Vậy \(m = 3,\,n = 8\). Suy ra \(2024m - n = 6064\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,         c) Đúng,      d) Sai.