Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
8/22
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \cos x,\;y = x + 1,\;x = \frac{\pi }{2},\;x = \pi \) (tham khảo hình bên dưới) bằng
\(\frac{{3{\pi ^2} - 4\pi + 8}}{8}\).
\[\frac{{3{\pi ^2} + 4\pi + 8}}{2}\] .
\(\frac{{3{\pi ^2} + 4\pi + 8}}{6}\).
\(\frac{{3{\pi ^2} + 4\pi + 8}}{8}\).
Xét \[x \in \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right]\], ta có: \[\cos x \le 1 < x + 1\] \[ \Rightarrow \cos x - \left( {x + 1} \right) < 0\] \[ \Rightarrow \left| {\cos x - \left( {x + 1} \right)} \right| = x + 1 - \cos x\].
Diện tích hình phẳng cần tính là
\(S = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left| {\cos x - \left( {x + 1} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( {x + 1 - \cos x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x - \sin x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi = \frac{{3{\pi ^2} + 4\pi + 8}}{8}\).