Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
7/22
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {{\rm{e}}^x}\], \[y = {x^2} - 1\], \[x = - 1,\;x = 1\] (tham khảo hình bên dưới) bằng
\[\frac{{3{{\rm{e}}^2} + 4{\rm{e}} - 3}}{{3{\rm{e}}}}\].
\[\frac{{3{{\rm{e}}^2} + 4{\rm{e}} - 3}}{{\rm{e}}}\] .
\[\frac{{3{{\rm{e}}^2} + 4{\rm{e}} + 3}}{{3{\rm{e}}}}\].
\[\frac{{3{{\rm{e}}^2} - 4{\rm{e}} + 3}}{{3{\rm{e}}}}\].
Xét \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\], ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{{\rm{e}}^x} > 0\\ - \left( {{x^2} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow {{\rm{e}}^x} - \left( {{x^2} - 1} \right) > 0\] \[ \Rightarrow \left| {{{\rm{e}}^x} - \left( {{x^2} - 1} \right)} \right| = {{\rm{e}}^x} - {x^2} + 1\].
Diện tích hình phẳng cần tính là
\[S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\rm{e}}^x} - \left( {{x^2} - 1} \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{{\rm{e}}^x} - {x^2} + 1} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {{{\rm{e}}^x} - \frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{3{{\rm{e}}^2} + 4{\rm{e}} - 3}}{{3{\rm{e}}}}\].