a) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{2x - 7}}\) có:

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{7}{2}} \right\}.\)

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^ + }} \frac{{x + 1}}{{2x - 7}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^ - }} \frac{{x + 1}}{{2x - 7}} = - \infty \].

Suy ra \(x = \frac{7}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + 1}}{{2x - 7}} = \frac{1}{2}\]. Suy ra \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy hàm số có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.

b) Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{x}{{{x^2} + 4}} = 0\]. Suy ra \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) Ta có:

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{{x^2} + 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + \frac{{ - 12x + 2}}{{{x^2} + 3x}}} \right) = 2.\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{{x^2} + 3x}} - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{{x^2} + 3x}} = 0.\)

Ta cũng có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{{x^2} + 3x}} = 2;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{{x^2} + 3x}} - 2x} \right] = 0.\)

Do đó, đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = 2x.\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} \frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{x + 3}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} \frac{{2{x^2} - 6x + 2}}{{x + 3}} = - \infty \).

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 3\).

Kết luận: Đồ thị hàm số chỉ có 2 đường tiệm cận.

d) Tập xác định: \(D = \left[ { - 5;5} \right]\backslash \{ 0\} \) nên không tồn tại tiệm cận ngang.

Điểm cực tiểu x C T của hàm số y = x ^3 + 3 x ^2 − 9 x là: