Đèn trời hay thiên đăng là loại đèn làm bằng giấy, dùng để thả cho bay lên trời sau khi đốt nến như hình bên.
8/28
Đèn trời hay thiên đăng là loại đèn làm bằng giấy, dùng để thả cho bay lên trời sau khi đốt nến như hình bên. Xét một đèn trời có dạng hình trụ thẳng đứng, có mặt trên và mặt xung quanh làm bằng giấy mỏng và kín, mặt dưới hở và có gắn một ngọn nến nhỏ. Thể tích của đèn trời (thể tích của hình trụ) là V = 0,10 m$^3$. Cho biết khi đèn trời bắt đầu bay lên thì không khí trong đèn trời có nhiệt độ $t_1 = 67^\circ$C, áp suất của không khí ở bên trong và bên ngoài đèn trời là như nhau và bằng $p = 10^5$ Pa. Nhiệt độ của không khí bên ngoài đèn trời là $t_2 = 27^\circ$C. Ở điều kiện tiêu chuẩn (nhiệt độ $t_0 = 0^\circ$C và áp suất $p_0 = 1{,}013 \cdot 10^5$ Pa), không khí có khối lượng riêng $\rho_0 = 1{,}29\ \text{kg/m}^3$. Coi không khí là khí lí tưởng. Khối lượng tổng cộng của giấy làm đèn trời và ngọn nến nhỏ ở đáy có giá trị không quá bao nhiêu để đèn có thể bay lên?
76,9 g.
13,6 g.
21,1 g.
129 g.
Đáp án đúng là B
Dùng phương trình Claperon $pV = \dfrac{m}{M}RT$ ta tìm được biểu thức tính khối lượng riêng của không khí là
\[
\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{pM}{RT}.
\]
Áp dụng công thức trên ta tìm được khối lượng riêng của không khí trong đèn trời, ngoài đèn trời và không khí ở điều kiện tiêu chuẩn lần lượt là
\[
\rho_1 = \dfrac{pM}{RT_1},\qquad
\rho_2 = \dfrac{pM}{RT_2},\qquad
\rho_0 = \dfrac{p_0 M}{RT_0}.
\]
Để đèn trời bay lên được thì phải có $F_A \ge p_{\text{đèn}} + p_{\text{khi}}$ hay $\rho_2 g V \ge m g + \rho_1 g V$ dẫn đến
\[
m \le (\rho_2 - \rho_1)V
= \left(\dfrac{pM}{RT_2} - \dfrac{pM}{RT_1}\right)V
= \left(\dfrac{1}{T_2} - \dfrac{1}{T_1}\right)\dfrac{pMV}{R}.
\]
Từ $\rho_0 = \dfrac{p_0 M}{RT_0} \Rightarrow \dfrac{pM}{R} = \rho_0 T_0 \dfrac{p}{p_0}$ nên
\[
m \le \left(\dfrac{1}{T_2} - \dfrac{1}{T_1}\right) T_0 \dfrac{p}{p_0}\, \rho_0\, V.
\]
Thay số ta được
\[
m \le \left(\dfrac{1}{27+273} - \dfrac{1}{67+273}\right)\cdot 273 \cdot \dfrac{10^5}{1{,}013\cdot 10^5}\cdot 1{,}29 \cdot 0{,}10
\approx 13{,}6 \cdot 10^{-3}\ \text{kg} = 13{,}6\ \text{g}.
\]