Để tránh vùng bị ảnh hưởng bởi lũ lụt, người dân muốn di chuyển từ xã B tới xã C phải đi qua xã A, dọc theo đường gấp khúc BAC. Biết AB=16km,AC=12km và ˆBAC=60∘.
22/22
Để tránh vùng bị ảnh hưởng bởi lũ lụt, người dân muốn di chuyển từ xã \(B\) tới xã \(C\) phải đi qua xã \(A\), dọc theo đường gấp khúc \(BAC\). Biết \(AB = 16{\rm{km}},AC = 12{\rm{km}}\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Lực lượng chức năng phát hiện trên đoạn thẳng \(BC\), tại vị trí điểm \(M\) thỏa mãn \(MC = 3MB\) có tín hiệu pháo sáng được bắn lên. Trực thăng được điều động để di chuyển thẳng từ \(A\) tới \(M\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AM\) (đơn vị \({\rm{km}}\)).
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) để tính độ dài cạnh \(BC\):
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{cos}}\widehat {BAC}\)
\(B{C^2} = {16^2} + {12^2} - 2 \cdot 16 \cdot 12 \cdot {\rm{cos}}{60^ \circ }\)
\(B{C^2} = 256 + 144 - 384 \cdot \frac{1}{2} = 400 - 192 = 208 \Rightarrow BC = \sqrt {208} = 4\sqrt {13} {\rm{\;km}}\)
Theo giả thiết, điểm \(M\) thuộc đoạn \(BC\) và \(MC = 3MB \Rightarrow MB = \frac{1}{4}BC = \frac{{4\sqrt {13} }}{4} = \sqrt {13} {\rm{\;km}}\).
Từ tam giác \(ABC\), ta có:
\({\rm{cos}}B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot BC}} = \frac{{{{16}^2} + 208 - {{12}^2}}}{{2 \cdot 16 \cdot 4\sqrt {13} }} = \frac{{256 + 208 - 144}}{{128\sqrt {13} }} = \frac{{320}}{{128\sqrt {13} }} = \frac{5}{{2\sqrt {13} }}\)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABM\) để tính \(AM\):
\(A{M^2} = A{B^2} + M{B^2} - 2 \cdot AB \cdot MB \cdot {\rm{cos}}B\)
\(A{M^2} = {16^2} + {\left( {\sqrt {13} } \right)^2} - 2 \cdot 16 \cdot \sqrt {13} \cdot \frac{5}{{2\sqrt {13} }}\)
\(A{M^2} = 256 + 13 - 16 \cdot 5 = 269 - 80 = 189\)
\( \Rightarrow AM = \sqrt {189} = 3\sqrt {21} {\rm{\;km}}\)
Vậy độ dài đoạn thẳng \(AM\) là \(3\sqrt {21} {\rm{\;km}}\) (xấp xỉ \(13,75{\rm{\;km}}\)).