Để chế tác một hạt cườm, người ta lấy một khối vật thể có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và nửa trên của elip x^2/1,5^2 + y^2/1^2 = 1
22/22
Để chế tác một hạt cườm, người ta lấy một khối vật thể có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi trục \(Ox\) và nửa trên của elip \(\frac{{{x^2}}}{{{{1,5}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{1^2}}} = 1\) (một đơn vị dài trên mỗi trục tọa độ tương ứng với một xăng-ti-mét trong thực tế) quanh trục \(Ox\); sau đó khoan dọc theo trục xoay (xem hình dưới). Lỗ khoan có dạng hình trụ với bán kính \(0,1\) cm và có trục nằm trên trục xoay. Phần còn lại sau khi khoan là hạt cườm, có dạng một khối tròn xoay. Thể tích của hạt cườm đó bằng bao nhiêu xăng-ti-mét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?
Lưu ý: Các kích thước trong hình minh họa có thể không đúng tỉ lệ thực tế.
Elip có phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{{{1,5}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{1^2}}} = 1\).
Khi quay nửa trên của elip quanh trục \(Ox\), ta được một khối elip tròn xoay.
Từ phương trình elip: \({y^2} = 1 - \frac{{{x^2}}}{{{{1,5}^2}}}\).
Lỗ khoan có bán kính \(0,1\) cm nên phần còn lại có thiết diện là hình vành khăn với bán kính ngoài \(y\), bán kính trong \(0,1\).
Điểm giới hạn thỏa mãn: \(y = 0,1\).
Suy ra: \({0,1^2} = 1 - \frac{{{x^2}}}{{{{1,5}^2}}}\)
\(0,01 = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2,25}}\)
\(\frac{{{x^2}}}{{2,25}} = 0,99\)
\(x = 1,5\sqrt {0,99} \).
Thể tích phần còn lại là: \(V = \pi \int_{ - 1,5\sqrt {0,99} }^{1,5\sqrt {0,99} } {\left( {{y^2} - {{0,1}^2}} \right)} ,dx\).
Thay \({y^2} = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2,25}}\): \(V = \pi \int_{ - 1,5\sqrt {0,99} }^{1,5\sqrt {0,99} } {\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{2,25}} - 0,01} \right)} ,dx\).
\(V = \pi \int_{ - 1,5\sqrt {0,99} }^{1,5\sqrt {0,99} } {\left( {0,99 - \frac{{{x^2}}}{{2,25}}} \right)} ,dx\).
Tính ra: \(V \approx 6,189\) cm³.
Làm tròn đến hàng phần trăm: \(V \approx 6,19\) cm³.
Đáp án: \(6,19\) cm³.