Dãy số nào trong các dãy số sau là dãy số tăng?

7/20

\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + n + 1}}}}{{{\rm{2}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}}}\]

\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{n}}} - {\rm{2}}\]

\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{n}}\]

\[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{n}}}{{{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 1}}}}\]

Giải thích

Với \[{{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{n}}\] ta có:\[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ = }}{{\rm{3}}^{{\rm{n + 1}}}} - \left( {{\rm{n + 1}}} \right){\rm{ = }}{{\rm{3}}^{{\rm{n + 1}}}} - {\rm{n}} - {\rm{1}}\]Xét hiệu:

\[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{3}}^{{\rm{n + 1}}}} - {\rm{n}} - {\rm{1}}} \right) - \left( {{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{n}}} \right){\rm{ = }}{{\rm{3}}^{{\rm{n + 1}}}} - {\rm{n}} - {\rm{1}} - {{\rm{3}}^{\rm{n}}}{\rm{ + n = }}{{\rm{3}}^{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{1}}\]

\[{\rm{ = }}{{\rm{3}}^{\rm{n}}}\left( {{\rm{3}} - {\rm{1}}} \right) - {\rm{1 = 2}}{\rm{.}}{{\rm{3}}^{\rm{n}}} - {\rm{1}} > 0,\forall {\rm{n}} \in {\mathbb{N}^ * }\]

Vậy\[{{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}} - {{\rm{u}}_{\rm{n}}} > 0 \Leftrightarrow {{\rm{u}}_{{\rm{n + 1}}}}{\rm{ > }}{{\rm{u}}_{\rm{n}}}\]. Vậy dãy số \[\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right)\] là dãy số tăng.

Đáp án cần chọn là: C