Đặt ổ điện nằm trên mặt đất, hỏi độ dài đoạn dây điện ngắn nhất từ ổ điện đến bóng đèn là bao nhiêu để tiết kiệm chi phí.
7/22
Trong chương trình trại hè 2024 – 2025 một nhóm học sinh trường THPT X được giao làm 1 trại hè như hình vẽ. Để trang trí trại cần lắp 1 bóng đèn màu ở vị trí đỉnh trại \(O\). Đặt ổ điện nằm trên mặt đất, hỏi độ dài đoạn dây điện ngắn nhất từ ổ điện đến bóng đèn là bao nhiêu để tiết kiệm chi phí. Biết \(OA\), \(OB\), \(OC\) đôi một vuông góc với nhau.
\(\frac{{9\sqrt {62} }}{{62}}\).
\(\frac{{12\sqrt {63} }}{{63}}\).
\(\frac{{12\sqrt {61} }}{{61}}\).
\(\frac{{6\sqrt {61} }}{{61}}\).
Vì \(OA\), \(OB\), \(OC\) đôi một vuông góc với nhau nên ta chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ dưới đây.
Ta có phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 6x + 4y + 3z - 12 = 0\).
Khoảng cách ngắn nhất của dây điện là độ dài đoạn thẳng \[OH\] với \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Khi đó, \(OH = d\left( {O,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 12} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {4^2} + {3^2}} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {61} }} = \frac{{12\sqrt {61} }}{{61}}\). ChọnC.