Công ty sữa muốn thiết kế bao bì đựng sữa với thể tích 1000ml. Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình là: Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông hoặc hình trụ

Ta có \(1\,\,000\,\,{\rm{ml}} = 1\) lít.

Giả sử thiết kế theo hình hộp chữ nhật có chiều cao \(h\) và cạnh đáy \(a\).

Ta có \({V_1} = {a^2}h = 1\) suy ra \(h = \frac{1}{{{a^2}}}\). Khi đó diện tích toàn phần của hình hộp là

\({S_1} = 4ah + 2{a^2} = \frac{4}{a} + 2{a^2} = \frac{2}{a} + \frac{2}{a} + 2{a^2} \ge 6.\)

Vậy \(\min {S_1} = 6\) và dấu bằng xảy ra khi \(a = h = 1\).

Giả sử thiết kế theo hình trụ có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(R\), ta có

\({V_2} = \pi {R^2}h = 1\) suy ra \(h = \frac{1}{{\pi {R^2}}}\).

Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ là:

\({S_2} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = \frac{2}{R} + 2\pi {R^2} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + 2\pi {R^2} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi }}\).

Do đó \(\min {S_2} = 3\sqrt[3]{{2\pi }}\) và dấu  xảy ra khi \(R = \frac{1}{2}h = \sqrt[3]{{\frac{1}{{2\pi }}}}\).

Vì \(\min {S_1} - \min {S_2} = 6 - 3\sqrt[3]{{2\pi }} > 0\) nên ta chọn thiết kế theo hình trụ để tiết kiệm vật liệu nhất, và hình trụ có \(R = \frac{1}{2}h\), hay chiều cao bằng đường kính đáy.