Công ty sữa muốn thiết kế bao bì đựng sữa với thể tích 1000m Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình là Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông hoặc hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình

Ta có \(1\,\,000\,\,{\rm{ml}} = 1\) lít.

Giả sử thiết kế theo hình hộp chữ nhật có chiều cao \(h\) và cạnh đáy \(a\).

Ta có \({V_1} = {a^2}h = 1\) suy ra \(h = \frac{1}{{{a^2}}}\). Khi đó diện tích toàn phần của hình hộp là

\({S_1} = 4ah + 2{a^2} = \frac{4}{a} + 2{a^2} = \frac{2}{a} + \frac{2}{a} + 2{a^2} \ge 6.\)

Vậy \(\min {S_1} = 6\) và dấu bằng xảy ra khi \(a = h = 1\).

Giả sử thiết kế theo hình trụ có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(R\), ta có

\({V_2} = \pi {R^2}h = 1\) suy ra \(h = \frac{1}{{\pi {R^2}}}\).

Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ là:

\({S_2} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = \frac{2}{R} + 2\pi {R^2} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} + 2\pi {R^2} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi }}\).

Do đó \(\min {S_2} = 3\sqrt[3]{{2\pi }}\) và dấu  xảy ra khi \(R = \frac{1}{2}h = \sqrt[3]{{\frac{1}{{2\pi }}}}\).

Vì \(\min {S_1} - \min {S_2} = 6 - 3\sqrt[3]{{2\pi }} > 0\) nên ta chọn thiết kế theo hình trụ để tiết kiệm vật liệu nhất, và hình trụ có \(R = \frac{1}{2}h\), hay chiều cao bằng đường kính đáy.