Công thức tính thể tích chiếc hộp là V = x^ 2 h .

a) Đúng. Thể tích khối hộp chữ nhật \[V = x.x.h = {x^2}h\].

b) Sai. Chiếc hộp có \(1\) mặt đáy là hình vuông cạnh \(x\) và có \(4\) mặt bên là hình chữ nhật kích thước \(x\) và \(h\). Vậy diện tích các mặt ngoài của chiếc hộp là : \[{S_{xq}} = {x^2} + 4xh\].

c) Sai. Vì mạ vàng trên mọi điểm của chiếc hộp nên mạ cả mặt trong và mặt ngoài.

Vậy \[{S_{MV}} = 2S = 2\left( {{x^2} + 4xh} \right) = 2{x^2} + 8xh\].

d) Đúng. Ta có thể tích chiếc hộp: \[V = {x^2}h = 32\] (đvtt), với \[x,h > 0\]. Suy ra \[h = \frac{{32}}{{{x^2}}}\].

Phần mạ vàng của chiếc hộp: \[S = 2{x^2} + 8xh\] \[ = 2{x^2} + 8x.\frac{{32}}{{{x^2}}}\]\[ = 2{x^2} + \frac{{256}}{x}\].

Xét hàm số \[f\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{{256}}{x}\] với \[x > 0\].

Ta có \[f'\left( x \right) = 4x - \frac{{256}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} - 256}}{{{x^2}}}\], \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 256 \Leftrightarrow x = 4\];\[f\left( 4 \right) = 96\].

BBT

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy khi \(x > 4\) hàm số \(f\left( x \right)\) tăng. Vậy lượng vàng được mạ tăng.