Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt: x^4-16x^2+8(1-m)x-m^2+2m-1=0.

Đáp án C

Ta có: x4−16x2+8(1−m)x−m2+2m−1=0.

⇔x4−16x2+8(1−m)x−(1−m)2=0⇔(1−m)2−8x(1−m)−x4+16x2=0.

Đặt 1−m=M, phương trình trở thành: M2−8xM−x4+16x2=0   (*).

ΔM'=(4x)2+x4−16x2=x4≥0.

TH1: x=0, Phương trình (*) có nghiệm kép M=4x=0⇔1−m=0⇔m=1.

Khi đó phương trình ban đầu trở thành: x4−16x2=0⇔x2(x2−16)=0⇔[x=0x=±4.

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt ⇒m=1  không thỏa mãn.

TH2: x≠0⇒Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:

[M=4x+x2⇔x2+4x−M=0   (1)M=4x−x2⇔x2−4x+M=0   (2) (1), (2) là phương trình bậc hai nên có

tối đa 2 nghiệm.

Do đó, để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì (1), (2) đều có 2 nghiệm phân biệt, và 4 nghiệm này phân biệt nhau

⇒{Δ1'>0Δ2'>0⇔{4+M>04−M>0⇔{M>−4M<4⇔−4<M<4.

⇔−4<m−m<4⇔−5<−m<3⇔−3<m<5

Kết hợp điều kiện m∈ℤ⇒m∈{−2,−1,0,2,3,4}.

Thử lại m=−2⇒x∈{−2±2;2±6}  (thỏa mãn).

 m=−1⇒x∈{−2±6;2±2}(thỏa mãn).

 m=0⇒x∈{−2±5;2±3}(thỏa mãn).

 m=2⇒x∈{−2±3;2±5}(thỏa mãn).

m=3⇒x∈{−2±2;2±6} (thỏa mãn).

m=4⇒x∈{−1;−3;2±7} (thỏa mãn).

Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.