Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình f(x^3 + 3x^2 - m) - 3= 0

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta thấy:

f(x³ + 3x² − m) − 3 = 0 ⇔ f(x³ + 3x² − m) = 3

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} - m = - 1\\{x^3} + 3{x^2} - m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} = - 1 + m\\{x^3} + 3{x^2} = 2 + m\end{array} \right.\]

Suy ra phương trình f(x³ + 3x² − m) − 3 = 0 có nghiệm thuộc đoạn [−1; 2]

⇔ phương trình x³ + 3x² = −1 + m có nghiệm thuộc đoạn [−1;2] hoặc phương trình x³ + 3x² = 2 + m có nghiệm thuộc đoạn [−1;2].

Xét hàm số g(x) = x³ + 3x² trên đoạn [−1;2].

Suy ra g'(x)=3x²+6x. Ta có g′(x)=0\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\]

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biên thiên ta thấy:

•Phương trình x³+3x²=−1+m có nghiệm thuộc đoạn [−1;2]khi và chỉ khi 

0≤−1+m≤20⇔1≤m≤21.

•Phương trình x³+3x²=2+m có nghiệm thuộc đoạn [−1;2] khi và chỉ khi 

0≤2+m≤20⇔−2≤m≤18.

Từ đó suy ra phương trình f(x³+3x²−m)−3=0có nghiệm thuộc đoạn [−1;2] khi và chỉ khi −2≤m≤21.

Mà m là số nguyên nên m∈{−2;−1;0. . .;20;21}.

Vậy có 24 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.