Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên dương ( n , k ) biết n < 20 và các số C k − 1 n , C k n , C k + 1 n theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng.

6/22

Có tất cả bao nhiêu bộ số nguyên dương \[\left( {n,\,\,k} \right)\]biết \[n < 20\]và các số \[C_n^{k - 1}\], \[C_n^k\], \[C_n^{k + 1}\]theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng.

\[4\].

\[2\].

\[1\].

\({z_1} = a + 5i\).

Giải thích

Chọn A

Các số \[C_n^{k - 1}\],\({z_2} = b\),\[C_n^{k + 1}\] theo thứ tự đó là số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm của một cấp số cộng nên ta có: \[C_n^k - C_n^{k - 1} = C_n^{k + 1} - C_n^k\]\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!(n - k - 1)!}} + \frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!(n - k + 1)!}} = 2\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {n - k + 1} \right)\left( {n - k} \right)}} = \frac{2}{{k\left( {n - k} \right)}}\)\( \Leftrightarrow {\left( {n - 2k} \right)^2} = n + 2\).

Do \(n < 20\)\( \Rightarrow n + 2 < 22\)mà \(n + 2\)là số chính phương, \(n,k\)nguyên dương nên có các trường hợp sau:

+ \(n + 2 = 4\)\( \Rightarrow n = 2;k = 2\).

+ \(n + 2 = 9\)\( \Rightarrow n = 7;k = 2\)hoặc \(n = 7;k = 5\).

+ \(n + 2 = 16\)\( \Rightarrow n = 14;k = 5\)hoặc \(n = 14;k = 9\).

Mà \(k + 1 \le n\)nên chỉ có 4 bộ thỏa mãn.