Cô Nhiên muốn xây dựng một bể nước hình chữ nhật để tòa nhà dùng chung. Biết bể nước hình chữ nhật có tổng chiều dài và chiều rộng của bể là 60 m.

Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của bể nước hình chữ nhật \(\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right).\)

Tổng chiều dài và chiều rộng của bể là 60 m nên ta có \[x + y = 60\,\,\left( {\rm{m}} \right).\]

Diện tích bể nước là: \(xy\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: \[ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)\] với \(a,\,\,b\) là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}\)

Với mọi \(a,\,\,b\) là các số không âm, ta có:

\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) suy ra \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b.\) Như vậy bất đẳng thức \(\left( * \right)\) đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) ta được:

\[xy \le {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{80}}{2}} \right)^2} = 1\,\,600.\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y\) và \[x + y = 60\] hay \[{x^2} = 1\,\,600\] tức là \(x = y = 40.\)

Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn là \(1\,\,600{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.\)