Có một giá trị m 0 của tham số m để hàm số y = x^3 + ( m^2 + 1 ) x + m + 1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 trên đoạn [ 0 ; 1 ] . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

9/22

Có một giá trị \({m_0}\) của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + m + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(5\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?

\(2{m_0} + 1 < 0\).

\(6{m_0} - m_0^2 < 0\).

\(2018{m_0} - m_0^2 \ge 0\).

\(2{m_0} - 1 < 0\).

Giải thích

Chọn C

+ Đặt \(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + m + 1\).

+ Ta có: \(y' = 3{x^2} + {m^2} + 1\). Dễ thấy rằng \(y' > 0\) với mọi \(x\), \(m\) thuộc \(\mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\), suy ra hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\). Vì thế \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y\)\( = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right)\)\( = f\left( 0 \right)\)\( = m + 1\).

+ Theo bài ra ta có: \(m + 1 = 5\), suy ra \(m = 4\).

+ Như vậy \({m_0} = 4\) và mệnh đề đúng là \(2018{m_0} - m_0^2 \ge 0\).