Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 4cm, chiều cao trong lòng cốc là 12cm đang đựng một lượng nước

+) Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ.

\(R = 4\,\,{\rm{cm}}\) là bán kính đáy cốc, \(h = 12\,\,{\rm{cm}}\) là chiều cao của cốc.

+) Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \[x\,\,\left( { - 4 \le x \le 4} \right)\] là một tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có độ dài cạnh \(BC = \sqrt {{R^2} - {x^2}}  = \sqrt {16 - {x^2}} \)

\[BA = \sqrt {{R^2} - {x^2}} .\tan \alpha  = \sqrt {{R^2} - {x^2}} .\frac{h}{R} = \sqrt {16 - {x^2}} .\frac{{12}}{4} = 3\sqrt {16 - {x^2}} \].

+) Diện tích thiết diện là \(S\left( x \right) = \frac{1}{2}\sqrt {16 - {x^2}} .3\sqrt {16 - {x^2}}  = \frac{3}{2}\left( {16 - {x^2}} \right)\) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

+) Thể tích khối nước trong cốc là \(V = \int\limits_{ - 4}^4 {\frac{3}{2}\left( {16 - {x^2}} \right)dx} \)\( = \frac{3}{2}\left( {16x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4\\{ - 4}\end{array}} \right. = 128\) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Chú ý: Có thể tính thể tích hình trên bằng công thức tính nhanh \(V = \frac{2}{3}{R^2}h\).

+) Với \(R = 4\) \({\rm{cm}}\), \(h = 12\) \({\rm{cm}}\) thể tích cần tìm \(V = \frac{2}{3}{.4^2}.12 = 128\) \({\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).