Có một chiếc túi đựng 3 quả bóng trắng và 4 quả bóng đen. Từ chiếc túi này lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả bóng, gọi số quả bóng trắng và số quả bóng đen lấy ra lần lượt là m, n. Trong phép th

Đáp án: 43

Tổng số bóng trong túi là \(3 + 4 = 7\) quả.

Số cách lấy ngẫu nhiên \(3\) quả bóng từ \(7\) quả là: \(n(\Omega ) = C_7^3 = 35\).

Vì lấy ra \(3\) quả bóng nên ta luôn có \(m + n = 3\) với \(m,n \in \mathbb{N}\). Các cặp \((m,n)\) có thể là: \((0,3),(1,2),(2,1),(3,0)\).

Xét điều kiện \(2m \ge n\):

Nếu \(m = 0,n = 3 \Rightarrow 2.0 < 3\)(loại).

Nếu \(m = 1,n = 2 \Rightarrow 2.1 = 2 \ge 2\)(thỏa mãn). Số cách chọn: \(C_3^1 \cdot C_4^2 = 18\).

Nếu \(m = 2,n = 1 \Rightarrow 2.2 = 4 \ge 1\) (thỏa mãn). Số cách chọn: \(C_3^2 \cdot C_4^1 = 12\).

Nếu \(m = 3,n = 0 \Rightarrow 2.3 = 6 \ge 0\) (thỏa mãn). Số cách chọn: \(C_3^3 \cdot C_4^0 = 1\).

Gọi \(A\) là biến cố: "Lấy ra \(3\) quả bóng sao cho \(2m \ge n\)".

Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n(A) = 18 + 12 + 1 = 31\).

Gọi \(B\) là biến cố: "Số quả bóng trắng lấy ra là \(2\)" (tương ứng cặp \(m = 2,n = 1\)).

Số phần tử của biến cố \(B\) thỏa mãn điều kiện \(A\) là \(n(B \cap A) = 12\).

Xác suất cần tìm là xác suất của \(B\) với điều kiện \(A\) đã xảy ra

\(P(B|A) = \frac{{n(B \cap A)}}{{n(A)}} = \frac{{12}}{{31}}\).

Vì \(12\) và \(31\) là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau nên \(q = 12\) và \(p = 31\).

Giá trị của \(p + q = 31 + 12 = 43\).