Có hai nhóm học sinh cùng đến một cửa hàng để mua hoa quả. Nhóm thứ nhất mua 3 kg táo và 5 kg cam, tổng số tiền phải trả là 225 nghìn đồng. Nhóm thứ hai mua 4 kg táo và 2 kg cam, tổng số tiền

a) Gọi \(x\) là giá tiền 1 kg táo (đơn vị: nghìn đồng), \(y\) là giá tiền 1 kg cam (đơn vị: nghìn đồng). Điều kiện \(x,\,\,y > 0\).

Nhóm thứ nhất mua 3 kg táo và 5 kg cam, tổng số tiền phải trả là 225 nghìn đồng nên ta có phương trình: \(3x + 5y = 225\) (1)

Nhóm thứ hai mua 4 kg táo và 2 kg cam, tổng số tiền phải trả là 160 nghìn đồng nên ta có phương trình: \(4x + 2y = 160\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y = 225\\4x + 2y = 160\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y = 225\\2x + y = 80\end{array} \right.\), do đó \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y = 225\\y = 80 - 2x\end{array} \right.\)

Thay \(y = 80 - 2x\) vào phương trình (1) được:

\(3x + 5\left( {80 - 2x} \right) = 225\)

\(3x + 400 - 10x = 225\)

\(400 - 7x = 225\)

\(7x = 175\)

\(x = 25\) (thỏa mãn)

Khi đó, \(y = 80 - 2 \cdot 25 = 30\) (thỏa mãn)

Vậy giá 1 kg táo là 25 nghìn đồng, giá 1 kg cam là 30 nghìn đồng.

b) Gọi vận tốc của ô tô tải là \(x\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\), điều kiện \(x > 0.\)

Vận tốc của ô tô con là \(x + 15\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).

Thời gian ô tô tải đi quãng đường \(AB\) là \(\frac{{154}}{x}\) (giờ)

Thời gian ô tô con đi quãng đường \(AB\) là \(\frac{{154}}{{x + 15}}\) (giờ)

Đổi 36 phút = \(0,6\) giờ.

Vì ô tô con xuất phát sau 36 phút (0,6 giờ) nhưng đến cùng lúc với ô tô tải nên ta có phương trình:

\(\frac{{154}}{{x + 15}} + 0,6 = \frac{{154}}{x}\)

Giải phương trình:

\(\frac{{154}}{x} - \frac{{154}}{{x + 15}} = 0,6\)

\(154\left[ {\frac{{x + 15}}{{\left( {x + 15} \right)x}} - \frac{x}{{\left( {x + 15} \right)x}}} \right] = 0,6\)

\(\frac{{154 \cdot 15}}{{x\left( {x + 15} \right)}} = 0,6\)

\(\left( {{x^2} + 15x} \right) \cdot 0,6 = 2\,\,310\)

\(0,6{x^2} + 9x - 2\,\,310 = 0\)

\({x^2} + 15x - 3\,\,850 = 0\)

\(\left( {x - 55} \right)\left( {x + 70} \right) = 0\)

Vì \(x > 0\) nên \(x = 55\) thỏa mãn.

Khi đó, vận tốc ô tô con là \(55 + 15 = 70\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\).

Vậy vận tốc của ô tô tải là 55 km/h, vận tốc của ô tô con là 70 km/h.

c) Phương trình \({x^2} - 5x + 1 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4 = 21 > 0\) nên có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = 1\end{array} \right.\).

Vì \({x_1}\) là nghiệm của \({x^2} - 5x + 1 = 0\) nên ta có \(x_1^2 - 5{x_1} + 1 = 0\) suy ra \(x_1^2 = 5{x_1} - 1\).

Tương tự với \({x_2}\) được \(x_2^2 = 5{x_2} - 1\).

Ta có: \({\left( {5{x_1} - 1} \right)^2} = 25x_1^2 - 10{x_1} + 1 = \left( {23x_1^2 - 1} \right) + 2\left( {x_1^2 - 5{x_1} + 1} \right) = 23x_1^2 - 1\)

Do đó, \(\sqrt {23x_1^2 - 1} = \sqrt {{{\left( {5{x_1} - 1} \right)}^2}} = \left| {5{x_1} - 1} \right| = 5{x_1} - 1\) (do \(5{x_1} - 1 = x_1^2 \ge 0\)).

Thay vào biểu thức \(P\), được:

\(P = \frac{1}{{2 + \sqrt {23x_1^2 - 1} }} + \frac{{3x_2^2 + 7}}{{5{x_2} + 1}}\)

\( = \frac{1}{{2 + 5{x_1} - 1}} + \frac{{3\left( {5{x_2} - 1} \right) + 7}}{{5{x_2} + 1}}\)

\( = \frac{1}{{5{x_1} + 1}} + \frac{{15{x_2} + 4}}{{5{x_2} + 1}}\)

\( = \frac{1}{{5{x_1} + 1}} + 3 + \frac{1}{{5{x_2} + 1}}\)

\( = \frac{{5{x_2} + 1 + 5{x_1} + 1}}{{\left( {5{x_1} + 1} \right)\left( {5{x_2} + 1} \right)}} + 3\)

\( = \frac{{5\left( {{x_2} + {x_1}} \right) + 2}}{{25{x_2}{x_1} + 5\left( {{x_2} + {x_1}} \right) + 1}} + 3\)

\( = \frac{{5 \cdot 5 + 2}}{{25 \cdot 1 + 5 \cdot 5 + 1}} + 3 = \frac{{60}}{{17}}\)

Vậy \(P = \frac{{60}}{{17}}\).