Có hai khối tròn xoay như sau: Khối tròn xoay A được tạo thành khi quay đường cong y = 3x^2 (0 ≤ y ≤ 10) quanh trục Oy, và khối tròn xoay B được tạo thành khi quay đường cong y = x^2 (0 ≤ y ≤

Đáp án: 1

Khi quay quanh trục \(Oy\)

+ Với \(y = 3{x^2} \Rightarrow {x^2} = \frac{y}{3}\)

+ Với \(y = {x^2} \Rightarrow {x^2} = y\)

Thể tích nước trong khối tròn xoay \(A\) là \[{V_1} = \pi \int\limits_0^u {\frac{y}{3}dy}  = \frac{{\pi {u^2}}}{6}\]

Thể tích nước ngoài khối tròn xoay \(A\), trong khối tròn xoay \(B\) là:

\[{V_2} = \pi \int\limits_0^v {\left( {y - \frac{y}{3}} \right)dy}  = \pi \int\limits_0^v {\left( {\frac{{2y}}{3}} \right)dy}  = \frac{{\pi {v^2}}}{3}\]

Theo thời gian \(t\), nước ở phần thể tích \({V_1}\) vơi đi bao nhiêu thì nước ở khối \({V_2}\) tăng lên bấy nhiêu nên ta có

\[\begin{array}{l}\frac{{d{V_1}}}{{dt}} =  - \frac{{d{V_2}}}{{dt}} \Leftrightarrow \frac{{d\left( {\frac{{\pi {u^2}}}{6}} \right)}}{{dt}} =  - \frac{{d\left( {\frac{{\pi {v^2}}}{3}} \right)}}{{dt}} \Leftrightarrow \frac{\pi }{3}u.\frac{{du}}{{dt}} =  - \frac{{2\pi }}{3}v.\frac{{dv}}{{dt}} \Leftrightarrow u.\frac{{du}}{{dt}} =  - 2v.\frac{{dv}}{{dt}}\\ \Leftrightarrow \frac{{du}}{{dt}} =  - \frac{{2v}}{u}\frac{{dv}}{{dt}} \Leftrightarrow \frac{{dv}}{{du}} =  - \frac{u}{{2v}}\end{array}\]

Theo giả thiết có \[v = \frac{1}{2}u\], tại đó ta có \[\frac{{dv}}{{du}} =  - \frac{u}{{2.\frac{u}{2}}} =  - 1\].

Vậy độ lớn tốc độ thay đổi của chiều cao mực nước ở khoang ngoài theo chiều cao mực nước ở khoang trong tại thời điểm \(v = \frac{1}{2}u\) là \(\left| { - 1} \right| = 1\).