Có hai chiếc hộp, hộp I có 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen, hộp II có 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một viên

Gọi A là biến cố “Lấy được viên bi màu trắng từ hộp I bỏ sang hộp II”;

B là biến cố “Lấy được viên bi màu trắng từ hộp II”.

Theo đề ta có \(P\left( A \right) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{2}\); \(P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{11}};P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{6}{{11}}\).

Có \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{1}{2}.\frac{7}{{11}} + \frac{1}{2}.\frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}\).

Theo công thức Bayes:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{2}.\frac{7}{{11}}}}{{\frac{{13}}{{22}}}} = \frac{7}{{13}}\).

Suy ra \(a = 7;b = 13\). Do đó \(S = {a^2} + {b^2} = 218\).

Trả lời: 218.