Có hai chiếc hộp, hộp I chứa 5 viên bi màu trắng và 5 viên bi màu đen, hộp II chứa 6 viên bi màu trắng và 4 viên bi màu đen

a) Xét các biến cố:

A: "Lấy được viên bi màu trắng từ hộp II ";

\(B\) : "Lấy được viên bi màu trắng từ hộp I bỏ sang hộp II";

\(\bar B\) : "Lấy được viên bi màu đen từ hộp I bỏ sang hộp II".

Theo giả thiết ta có: \({\rm{P}}(B) = {\rm{P}}(\bar B) = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2};{\rm{P}}(A\mid B) = \frac{7}{{11}};{\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{6}{{11}}.\)

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\({\rm{P}}(A) = {\rm{P}}(B) \cdot {\rm{P}}(A\mid B) + {\rm{P}}(\bar B) \cdot {\rm{P}}(A\mid \bar B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{{11}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{{11}} = \frac{{13}}{{22}}.\)

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi màu trắng là \(\frac{{13}}{{22}}\).

b) Gọi \(N\) là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi thuộc hộp I ". Khi đó ta cần tính \({\rm{P}}(N\mid A)\).

Ta có: \({\rm{P}}(N) = \frac{1}{{11}};{\rm{P}}(A) = \frac{{13}}{{22}}\). Để tính \({\rm{P}}(A\mid N)\), hay xác suất để lấy được viên bi màu trắng từ hộp II , biết rằng viên bi đó thuộc hộp I , ta xét các trường hợp sau:

- Viên bi được lấy từ hộp I bỏ sang hộp II có màu đen. Khi đó xác suất lấy được viên bi trắng thuộc hộp I bằng 0 .

- Viên bi được lấy từ hộp I bỏ sang hộp II có màu trắng. Khi đó xác suất lấy được viên bi màu trắng thuộc hộp I bằng \({\rm{P}}(B) = \frac{1}{2}\).

Do đó, \({\rm{P}}(A\mid N) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). Theo công thức Bayes, ta có:

\({\rm{P}}(N\mid A) = \frac{{{\rm{P}}(A\mid N) \cdot {\rm{P}}(N)}}{{{\rm{P}}(A)}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{11}}}}{{\frac{{13}}{{22}}}} = \frac{1}{{13}}.\)

Vậy xác suất viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi thuộc hộp I , biết rằng viên bi đó màu trắng, là \(\frac{1}{{13}}\).