Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt hai lần, chữ số 3 có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt nhiều nhất một lần? Đáp án: ……….

Gọi số tự nhiên thỏa mãn bài toán có dạng \(\overline {{\rm{abcdef}}} \).

Xét trường hợp có cả chữ số 0 đứng đầu. Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là \(C_7^2\).

Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là \(C_5^3\).

Số cách chọn 2 chữ số còn lại trong tập hợp \(\left\{ {0\,;\,\,1\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8\,;\,\,9} \right\}\) để xếp vào hai vị trí cuối là \(A_{78}^2\).

Do đó có \(C_7^2 \cdot C_5^3 \cdot A_8^2 = 11\,\,760\)(số)

Xét trường hợp chữ số 0 đứng đầu, \(a = 0\) nên có 1 cách chọn.

Số cách chọn vị trí cho chữ số 2 là: \(C_6^2\).

Số cách chọn vị trí cho chữ số 3 là \({\rm{C}}_4^3\).

Số cách chọn 2 chữ số còn lại trong tập hợp \(\left\{ {1\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8\,;\,\,9} \right\}\) là 7 cách.

Do đó có: \(1 \cdot C_6^2 \cdot C_4^3 \cdot 7 = 420.\)

Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán: \(11\,\,760 - 420 = 11\,\,340\) (số).

Đáp án: \[11\,\,340.\]