Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3?

Vì chữ số 2 đứng liên giữa hai chữ số 1 và 3 nên số cần lập có bộ ba số 123 hoặc 321 .

Trường hợp 1: Số cần lập có bộ ba số 123.

Nếu bộ ba số 123 đứng đầu thì số có dạng \(\overline {123abcd} \).

Có \(A_7^4 = 840\) cách chọn bốn số a, b, c, d nên có \(A_7^4 = 840\) (số).

Nếu bộ ba số 123 không đứng đầu thì số có 4 vị trí đặt bộ ba số 123 .

Có 6 cách chọn số đứng đầu và có \({\rm{A}}_6^3 = 120\) cách chọn ba số b, c, \({\rm{d}}\).

Theo quy tắc nhân có \(6 \cdot 4 \cdot A_6^3 = 2\,\,880\) (số).

Theo quy tắc cộng có \(840 + 2\,\,880 = 3\,\,720\) (số).

Trường hợp 2: Số cần lập có bộ ba số 321 .

Do vai trò của bộ ba số 123 và 321 như nhau nên có \(2\left( {840 + 2\,\,880} \right) = 7\,\,440\).

Đáp án: 7440.