Có bao nhiêu số thực a để tích phân x/a+x^2 dx = 1?

Điều kiện tích phân tồn tại là \(a + {x^2} \ne 0,\forall x \in \left[ {0\,;\,\,1} \right] \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a <  - 1}\\{a > 0}\end{array}} \right.\)

Đặt \(t = a + {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx.\)

Khi đó \(\int\limits_0^1 {\frac{x}{{a + {x^2}}}{\rm{d}}x} \; = \frac{1}{2}\int\limits_0^{1 + a} {\frac{{dt}}{t}}  = \left. {\frac{1}{2}\left( {\ln \left| t \right|} \right)} \right|_a^{1 + a} = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + a}}{a}} \right| = 1\)

\( \Leftrightarrow \ln \left| {\frac{{1 + a}}{a}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{1 + a}}{a} = {e^2}\\\frac{{1 + a}}{a} =  - {e^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + a = {e^2}a\\1 + a =  - {e^2}a\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{{e^2} - 1}}\\a = \frac{{ - 1}}{{{e^2} + 1}}\end{array} \right.\).

So sánh điều kiện, ta có \(a = \frac{1}{{{e^2} - 1}}.\) Chọn B.