Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z^3 + 2i|z^2|?

Ta có: \({z^3} + 2i{\left| z \right|^2} = 0 \Leftrightarrow {z^3} + 2iz\bar z = 0 \Leftrightarrow z\left( {{z^2} + 2i\bar z} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z = 0}\\{{z^2} + 2i\bar z = 0}\end{array}} \right..\)

Gọi \(z = x + yi \Rightarrow \bar z = x - yi\) với \(x,y \in \mathbb{R}.\)

Thay vào (1) có: \({x^2} - {y^2} + 2xyi + 2i\left( {x - yi} \right) = 0\)

\[ \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2y + 2x\left( {y + 1} \right)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - {y^2} + 2y = 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y =  - 1}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{ - y + 2y = 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y =  - 1}\\{{x^2} - 3 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\].

Ta có \[(2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 2}\end{array}} \right.\end{array} \right.\,;\,\] \[(3) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  \pm \,\sqrt 3 }\\{y =  - 1}\end{array}} \right.\].

Vậy có bốn số phức \(z\) thỏa mãn là: \(z = 0\,;\,\,z = 2i\,;\,\,z =  \pm \,\sqrt 3  - i.\)

Đáp án: 4.