Có bao nhiêu số nguyên x thuộc -2021 2021 để ứng với mỗi x có tối thiểu 64 số nguyên y thỏa mãn log 3 căn x4 + y lớn hơn bằng log 2 x + y ?

Đáp án: 3990

Ta có log3x4+y≥log2(x+y)⇔log9x4+y≥log2(x+y)(1)

Đặt t=x+y∈ℕ*( do x,y∈ℤ,x+y>0

g'(t)=1tln2−1x4−x+tln9 mà x∈[−2021;2021]⇒x4≥x⇒x4−x≥0⇒x4−x+t≥t

Từ đó suy ra g'(t)=1tln2−1x4−x+tln9>0,∀x,t thuộc điều kiện xác định.

Do đó g(t) đồng biến trên [1;+∞)

Mỗi một giá trị của x, y tương ứng với một giá trị của t nên để x nguyên có tối thiểu 64 giá trị t∈ℕ* ta có g(64)≤0⇔log264−log9x4−x+64≤0

⇔log9x4−x+64≥6⇔x4−x+64≥96⇔x4−x−531377≥0(*)

Đặt f(x)=x4−x−531377⇒f'(x)=4x3−1=0⇔x=143, ta có bảng biến thiên như sau

Lại có f(26)=−74427;f(27)=37⇒f(26).f(27)<0

f(−26)=−74375;f(−27)=91⇒f(−26).f(−27)<0

Do đó mỗi khoảng (26;27) và (-27;-26) phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm.

Mà hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng −∞;143 và 143;+∞ nên bất phương trình (*) có nghiệm x≥27x≤−27. Kết hợp điều kiện x∈[−2021;2021] và x nguyên suy ra

x∈{−2021;−2020;…;−27;27;28;…;2021}

Vậy có (2021−27+1).2 = 3990 giá trị thỏa mãn.