Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn log5 (x^2 - 4)/49 < log7 (x^2-4)/25

14/150

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \({\log _5}\frac{{{x^2} - 4}}{{49}} < {\log _7}\frac{{{x^2} - 4}}{{25}}\)?

Giải thích

Điều kiện: \({x^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < - 2}\\{x > 2}\end{array}} \right.\).

Ta có: \({\log _5}\left( {{x^2} - 4} \right) - 2{\log _5}7 < {\log _7}\left( {{x^2} - 4} \right) - 2{\log _7}5\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} - 4} \right) - 2{\log _5}7 < \frac{{{{\log }_5}\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{{\log }_5}7}} - 2{\log _7}5\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {1 - {{\log }_7}5} \right) < 2\left( {\frac{1}{{{{\log }_7}5}} - {{\log }_7}5} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} - 4} \right) < 2 \cdot \frac{{1 + {{\log }_7}5}}{{{{\log }_7}5}} \Leftrightarrow {\log _5}\left( {{x^2} - 4} \right) < 2{\log _5}35\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4 < {35^2} \Leftrightarrow - \sqrt {1229} < x < \sqrt {1229} \)

Kết hợp điều kiện ta suy ra \(\left[ \begin{array}{l}2 < x < \sqrt {1229} \\ - \sqrt {1229} < x < - 2\end{array} \right.\)

Từ đó suy ra có 66 số nguyên \(x\) thỏa mãn. Chọn A.