Có bao nhiêu số nguyên m, (m>3) sao cho ứng với mỗi giá trị của m,

Ta có \(\left( {{m^x} - mx + x} \right)\log m = \log \left( {mx} \right) \Leftrightarrow {m^x} - mx + x = \frac{{\log \left( {mx} \right)}}{{\log m}}\)

Suy ra \(x = y \Leftrightarrow {m^x} = mx \Leftrightarrow \ln {m^x} = \ln \left( {mx} \right) \Leftrightarrow x \cdot \ln m = \ln m + \ln x\)

\( \Leftrightarrow x \cdot \ln m - \ln m = \ln x \Leftrightarrow \ln m = \frac{{\ln x}}{{x - 1}}\) với \(x > \frac{1}{{2023}}\) và \(x \ne 1.\)

Lập bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{{x - 1}}.\)

Khi đó, phương trình \(\ln m = f\left( x \right)\) có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \ln m < 7,616 \Leftrightarrow m < 2030,63.\)

Kết hợp với \(m \ge 3\) và \(m \in \mathbb{Z}\), ta có \(m \in \left\{ {3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\, \ldots \,;\,\,2030} \right\}.\)

Đáp án: 2028.