Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số nguyên b thoả

Ta có \[a \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow a \ge 1\,;\,\,b \in \mathbb{Z}.\]

\(\left( {{3^b} - 3} \right)\left( {a{{.2}^b} - 16} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 1}\\{b = {{\log }_2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right)}\end{array}} \right.\).

• TH1: \({\log _2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right) > 1 \Leftrightarrow \frac{{16}}{a} > 2 \Leftrightarrow 0 < a < 8.\)

Khi đó ta có bảng xét dấu vế trái của bất phương trình là

Để với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thoả mãn thì \(b \in \left\{ {2\,;\,\,3} \right\}\) nên

\(3 < {\log _2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right) \le 4 \Leftrightarrow 9 < \frac{{16}}{a} \le 16 \Leftrightarrow 1 \le a < \frac{{16}}{9}\) \( \Rightarrow \) có 1 giá trị thoả mãn là \(a = 1.\)

• TH2: \({\log _2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right) < 1 \Leftrightarrow \frac{{16}}{a} < 2 \Leftrightarrow a > 8.\)

Khi đó ta có bảng xét dấu vế trái của bất phương trình là

Để với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thoả mãn thì \[b \in \left\{ { - 1\,;\,\,0} \right\}\] nên

\( - 2 \le {\log _2}\left( {\frac{{16}}{a}} \right) <  - 1 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le \frac{{16}}{a} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 32 < a \le 64 \Rightarrow a \in \left\{ {33\,;\,\,34\,;\,\, \ldots ;\,\,64} \right\}.\)

Suy ra có 32 giá trị \(a\) thoả mãn.

Kết hợp 2 trường hợp, suy ra có tất cả 33 số thoả mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 33.