Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số y=1/3 cos^3 x- 4 cot x- ( m+1) đồng biến trên khoảng

Ta có:

_{y'=−cos2x.sinx+4sin2x+m+1.sinx=sin3x + 4sin2x+m.sinx}

- Hàm số đồng biến trến 0;π khi và chỉ khi y'≥0,∀x∈0;π

_{⇔sin3x + 4sin2x   +  m.sinx≥0,  ∀x∈0;π}

_{⇔sin2x+4sin3x≥−m,∀x∈0;π    1}

- Xét hàm số: gx=sin2x +4sin3x trên 0;π

Có g'x=2sinx.cosx  −  12cosxsin4x

_{=2cosx.sinx−6sin4x=2cosx.sin5x−6sin4x}

_{⇒g'x=0⇔x=π2∈0;π}

Bảng biến thiên

 

- Do đó : 1⇔−m≤minx∈0;πgx⇔−m≤5

_⇔m≥−5

- Lại do m nguyên âm nên m∈−5;−4;−3;−2;−1

Vậy có 5 số nguyên âm.

Chọn A